线性变换的本征值与本征向量往往是困难的,我们可用线性变换的矩阵来解决这个问题.
设V是数域F上的n维线性空间,取定它的基{α1,α2,...,αn},令线性变换σ在这个基下的矩阵是A=(αij).
如果ξ=k1α1+ k2α2+...+ knαn是线性变换σ的属于特征根λ的一个特征向量,
那么,
σ(ξ)关于基{α1,α2,...,αn}的坐标是A而λξ的坐标是λ
这样,就有 A=λ
或(2) (λI-A)=
为ξ≠0,所以齐次线性方程(2)有非零解。因而系数行列式
(3)
反过来,如果λ∈F,满足等式(3),则齐次线性方程组(2)有非零解(k1,k2,...,kn), ξ=k1α1+ k2α2+...+ knαn满足等式(1),λ是σ的一个本征值,ξ就是σ的属于本征值λ的本征向量。
由上面的分析,可以得到以下的结论:
1)λ∈F是σ的本征值的充分必要条件是它满足方程(3);
2)对于本征值λ子空间Vλ中一切向量在{α1,α2,...,αn}下的坐标正好构成齐次线性方程组(λI-A)X=0的在F上的解空间.实际上Vλ与(λI-A)X=0的解空间同构. Vλ的一个基{β1,β2,...,βn}可由齐次线性方程组(λI-A)X= 0的一个基础解系{η1,η2,...,ηn}给出. (其中βi=(α1,α2,...,αn)ηi, i=1,2, ...,r);②
例1:求矩阵的特征值和特征向量.
解:A的特征多项式为:=
A有三个不同的特征值
将代入其次线性方程组
得基础解系,则A的属于全部特征向量为.
将代入其次线性方程组
得基础解系,则A的属于全部特征向量为.
将代入其次线性方程组
得基础解系,则A的属于全部特征向量为
第二章 矩阵的特征多项式和特征根
2.1矩阵的特征多项式和特征根的定义
定义2 设A=(aij)是数域F上的一个n阶矩阵,行列式
叫做矩阵A的特征多项式.fA(x)在C内的根叫做矩阵A的特征根.
设λ0∈C是矩阵A的特征根,而x0∈Cn是一个非零的列向量,使Ax0=λ0x0 , 就是说,x0是齐次线性方程组(λ0I-A)X=0的一个非零解.我们称x0是矩阵A的属于特征根λ0的特征向量。③
2.2线性变换的本征值与矩阵的特征根的关系
1)如果σ关于某个基的矩阵是A,那么σ的本征值一定是A的特征根,但A的特征根却不一定是σ的本征值,A的n个特征根中属于数域F的数才是σ的本征值;
(2)σ的本征向量是V中满足(1)式的非零向量ξ,而A的本征向量是Cn中的满足 Ax0=λx0的非零列向量x0
3)若λ∈F是A的特征根,则A的Fn中属于λ的就是σ的λ属于的特征向量关于给定基的坐标.
2.3线性变换的特征根与特征向量的求法
现在把求线性变换σ的特征根和特征向量的步
骤归纳如下:
1)在线性空间V中取一个基{α1,α2,...,αn},求出σ在这个基下的矩阵A;
2) 计算特征多项式fA(x)=|XI-A|,求出它的属于数域F的根λ1,λ2,...,λs;
3) 对每个λi(i=1,2, ...,s)求齐次线性方程组(λiI-A)X=0的基础解系;
4) 以上面求出的基础解系为坐标,写出V中对应的向量组,它就是特征子空间
Vλi的一个基,从而可确定σ的特征向量.
例4 设R上的三维线性空间V的线性变换σ在基{α1,α2,α3}下
的矩阵是 求σ的特征根和对应的特征向量.
解 σ的矩阵A已给出,先求特征多项式和特征根.
fA(x)的根为λ1=1(二重根),λ2=-2都是σ的特征根.对特征根λ1=1,解齐次线性方程组(1·I-A)X=0,即
得基础解系ξ1=(-2,1,0),ξ2=(0,0,1)对应的特征向量组是{-2α1+α2,α3},它是特征子空间V1的一个基,所以V1=L(-2α1+α2,α3).而σ的属于特征根1的一切特征向量为k1(-2α1+α