skets风(0<A≤1/3) THand a class of Sierpinski carpets G(0<A≤1/4)are obtaineA,which is 1 and(vS)。
respectively. The main results in this paper are essentially different from the previous proofpro-CesS and estimation method for the upper bound.Remarkably,we can expand the meth—ods to the calculation and study on general Sierpinski gasket and Sierpinski sponge.Key Words:Self-similar set;Hausdorff dimension;Hausdorff measure;Sierpinskigasket;Sierpinski carpet Ⅳ 目 录摘要……………………………………………………………… IABSTRACT……………………………………………Ⅲ目录………………………………………………………………Ⅵ1引言……………………………………………………………12 Hausdorff测度与Hausdorff维数…………………………………3 2.1 Hausdorff测度及其性质……………………………………3 2.2 Hausdorff维数及其性质……………………………………5 2.3 质量分布原理与常用技巧…………………………………· 63自相似分形集…………………………………………………··9 3.1 自相似集的生成…………………………………………·· 9 3.2 自相似集的Hausdorff维数计算方法…………………………10 3.3 自相似集的Hausdorff测度计算方法…………………………114若干类自相似集的Hausdorff测度研究……………………………14 4.1 Sierpinski垫片S的Hausdorff测度…………………………·14 4.2 Sierpinski垫片类风的Hausdorff测度………………………23 4.2.1 Sierpinski垫片类&(0<A≤1/3)的Hausdorff测度………··23 4.2.2 Sierpinski垫片类&(1/3<A≤1/2)Hausdorff澳lJ度的上界估计·24 4.3 Sierpinski地毯C×C的Hausdorff测度……………………··28 4.4 Sierpinski地毯a的Hausdorff测度…………………………31 4.4.1 Sierpinski地毯G(0<A≤1/4)的Hausdorff狈1〕度…………·31 4.4.2 Sierpinski地毯a(1/4<A≤1/3)Hausdorff测度的上界估计··395结束语…………………………………………………………·43 V参考文献…………………………………………………………··44附件A计算机运行主程序……………………………………………47致谢………………………………………………………………·51在学期间的研究成果及发表的论文…………………………………..52学位论文独创性声明及授权声明…………………………………….53学位论文诚信承诺书……………………………………………….55 VI 1 引言 众所周知,欧几里得几何学研究的都是规则的形状,如圆,正方形,球等,构成这些图形的边缘都是连续和光滑的.但是在自然界中,许多物体的形状和现象十分复杂,如蜿蜒曲折的海岸线,山脉的轮廓,分子无规则运动的轨迹等.经典几何与分析的思路和工具很难处理自然界的复杂现象,甚至连作出合乎逻辑的解释都相当困难.另一方面,人们己注意到不规则集往往能提供许多自然现象的更好描述.80年代初,由B.B.Mandelbrot所创立的分形几何为科学的探讨这些复杂的问题提供了全新的概念和方法,揭示了自然界混乱无规结构的规律性及其本质,分形几何的诞生与发展对整个科学的发展具有极为重要的意义. 分形几何研究的主要工具是各种形式的测度和维数,用于刻画各种分形集的不规则性.目前,以Felix Hausdorff在1919年引进的Hausdorff测度和Hausdorff维数在理论上更为常用.但在分形几何的研究中,计算分形集的Hausdorff测度和维数是十分困难的. 分形几何中的白相似集是一类最重要和最典型的分形集,也是目前研究最为广泛和深入的分形集,尤其是s.集,它的Hausdorff维数等于自相似维数,但其Hausdorff测度的计算成果仍风毛麟角.文献【4】至【9】都对满足开集条件的自相似集进行了维数和测度的研究.但迄今为止,甚至连一些经典分形集的Hausdorff测度的精确值任然未知,已知其Hausdorff测度是一个正的有限数,而要得到其准确值几乎没有一蹴而就的方法,只能通过计算其上下界以逼近其准确值.例如Koch曲线和Sierpinski垫片.对于Koch曲线,其Hausdorff维数s=dimt了K=l0934,而对于其Hausdorff测度,文献【10】估计出了Koch曲线Hausdorff测度的上界为0.5890,推翻了Marion在1987年对Hausdorff测度等于2s/4的猜测,而文献【4】给出了目前最好上界为0.5877,文献【12】利用质量分布原理得到了目前最好下界为1/1.9. 由于目前计算自相似集的Hausdorff测度还没有一个系统的通用方法,对于Sierpinski垫片类及Sierpinski地毯等的Hausdorff测度研究都进展甚微.因此,本文利用基于最优覆盖的Hausdorff测度的计算理论,通过建立适当的覆盖集,得到Sierpinski垫片S和Sierpinski地毯G×C的一个较优上界值,改进了文献【19】【21】得到的目前最好上界.且对Sierpinski垫片类是(o<A≤1/2)及Sierpinski l引言地毯伏(o<入≤1/3)的Hausdorff澳JJ度都进行了相应的研究,无论在其证明方法和计算过程中,最优覆盖的Hausdorff测度的计算理论都贯穿其中,给出了有别与现有文献的证明过程和上界估测公式. 2 2 Hausdorff测度与Hausdorff维数 分形几何研究的主要工具是各种形式的测度和维数,用于刻画各种分形集的不规则性.1919年Felix Hausdorff从测量角度引进了Hausdorff测度和Hausdorff维数. 2.1 Hausdorff测度及其性质 如果u是R”中的任意非空子集,【厂的直径定义为lUI=sup{lz—YI:z,Y∈u).如果{以)为可数或有限个直径不超过6的集构成的覆盖E的集类,即 ooE∈U阮,且对每一个i都有0<.〔仉,≤万,则称{阢J是E的一个J.覆盖。
i=1 定义2.1【1l设E是Rn中的任意非空子集,s为一非负数,对任意6>0.定义 oo HL(E)=inf{∑IU,13:{阢)为E的任意覆盖), (2.1.1) i=I 聊
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