(E)=inf{∑I阢18:{阢)为E的6一覆盖), (2.1.2) i=1 日8(E)=l,im。
焉(E), 0—●U (2.1.3)其中l玩I为阢的直径,称日5(E)为E的s维Hausdorff测度.日s(E)的取值可以是0,正有限或正无穷.若0<H3(E)<o。
,则E称为s.集. 对于给定的s≥0,集合E的s维Hausdorff测度满足以下性质: (1)日5(仍)=0. (2)如果F∈E,则H3(F)≤H5(E). (3)如果.(局}是Rn中的任意可数个集序列,则 ∞ o。
H8(U易)≤∑日5(邑). i=I i=l 3 2 Hausdorff测度与Hausdorff维数如果晟是不交的Borel集序列,则 ∞oO 日8(U E)=∑日3(&). (2.1.4) i=1 i=l (4)(比例性)设E∈舻,入>0,令AE={妇:X∈E),则 H3(AE)=”H8(E). (2.1.5) (5)设E∈Ⅳ,,:E_Rm为满足指数Q>0的H61der条件:存在常数a>0和c>0,使得对于任意的X,Y∈E有 ,(z)一,(可)I≤cIz一‖I口,则 日昙(,(E))≤c昙日8(E). 特别地,当Ol=1,,满足Lipschitz条件,且当0<c<l时,称.厂为压缩映射,此时易见 H8(.厂(E))≤c5H8(E). 如果映射,:E—R…满足条件:存在c>0,使得对于任意的z,Y∈E有 ,(z)一,(秒)I=clz一可I,则称.厂为自相似映射.当0<c<1时,称.厂为自相似压缩映射,c称为压缩系数. 若,:E_”为自相似映射,则 H8(,(E))=c5H5(E). (2.1.6) 4 2 Hausdorff测度与Hausdorff维数 2.2 Hausdorff维数及其性质 对任意E以及给定的s≥0,聊(E)关于6单调非减,而对给定的0<6<1,研(E)及日8(E)对s单调非增,因此存在s的一个临界点使H3(E)从Oo跳跃到0,这个临界值称为E的Hausdorff维数,记为dim日E. 定义2.2111定义 dimx E= sup{s:日3(E)=oo)=inf{5:伊(E)=o) (2.2.1) 、 7 sup{s:H3(E)>o)=inf{s:H8(E)<oo)为E的Hausdorff维数. 所以,E的s维Hausdorff测度满足 若s<dim日E 删=R 若s>dimH E如果5=dimH E,则俨(E)可以为0或oo或满足0<H8(E)<oo. 由Hausdorff测度的性质可以得出Hausdorff维数具有以下性质: (1)(单调性)若F∈E g Rn,则dim日F≤dimH E. (2)(稳定性)设{E)是一个集合序列,则 di咖(型引=增su<p∞{dimH阱 (3)可数点集的Hausdorff维数是0. (4)设E∈R“,f:E_ⅡP满足Q阶H6lder条件,则 dim日E. dim日,(E)≤云1特别地,当Oz=1,,满足Lipschitz条件,则dim日f(E)S dim日E. 5 2 Hausdorff测度与Hausdorff维数 若,满足双Lipschitz条件,即存在c1>0,c2>0,对任意的z,Y∈E有 CllX—YI≤If(x)一,(可)I≤c2lx一可I,则 dimHf(E1=dimHE. 进一步,若,为自相似映射,有dimH f(E)=dimH E. 此外,对任意的E∈融,其Hausdorff维数,上下计盒维数(Box维数),修正的上下计盒维数,填充维数之间有以下关系: 0≤dimH E≤dimMBE≤dimMBE=dimp E≤dimBE≤佗,其中,涉及的更多维数理论参见文献【l】. 2.3质量分布原理与常用技巧 在分形几何中,各种形式的测度和维数是刻画各种分形集的不规则性的主要工具,然而计算分形集的Hausdorff测度和维数是十分困难的,且Hausdorff测度的下界估计尤为困难,而在这过程中,质量分布原理是最基本最常用的方法. 定理2.1【2】设肛是X的盯代数x上的测度, (1)若El∈邑S…是)(中的递增集列,则p(1im晶)=lim p(既); (2)若El三易三…是x中的递减集列,且p(E1)<OO,则 p(1im晶)=lim p(品); n—’oo n—’oo (3)对x中的任意集列.【R),有#(—lim—En)=1而p(R). n---*oo 71--+oo 定义2.3121测度p的支撑是满足p(Rn\X)=0中的最小闭集X,记作spt#.称Rn的有界子集上满足0<p(Rn)<OO的p为质量分布,可以认为p(E)为集E的质量. 6 2 Hausdorff测度与Hausdorff维数 下面的方法通常用来在Rn的一子集上构造一质量分布【11. 在有界Borcl集E上的各部分间重复地进行分配.设E0=E,铅为E的不交Borel子集序列,使得‰中的每一集合U包含在%一1的某一集合中,且包含有限个ek+1中的集.假设“中集的最大直径当k—Oo时趋于0,通过重复分配,定义E上一质量分布(如图2.1所示). 与 气 图2.1通过重复分配方法构造质量分布 m 设p(E)满足0<p(E)<o。
,通过∑p(阢)使质量在E1中的巩,…,‰集 t=l之间分配.类似地,继续将质量分配到E2中的集上,使得如果巩,…,%是£2中 m包含于E1中某个集u的所有的集,则有∑p(仉)=Ⅳ(u).一般地,对于鼠中每 i=1个集U,分配质量使之满足 m ∑p(阢)=p(u) i=1其中,阢是£七+1中包含于【厂的不交集序列的全体.对于每一七,设最为E七中集的并集,对任一满足A n风=O的集A,定义;4A)=0. 定理2.2【2】设g表示由属于上述任一个钆的集以及所有具有瞅\既形式的集组成的集类,肛是定义在E上的质量分布,则p的定义可以扩展到舯的所有子集上,使得弘为--N度.若A为Borel集,则肛(A)的值唯一确定.肛的支撑包含 oo一于U风. k=l 定理2.3【2】(质量分布原理)设s>0,E C一舻上的质量分布p满足s阶H61dcr条件,即存在常数c>0,以及6>0,使得p(u)≤cIuIs对所有满足IUI≤6的集u都成立,则Ⅳ5(历)≥p(E)/c. 7 一一一.!旦璺竺!璺竺堕型堕量旦竺!塑堕丝墼-________-___-__l-___-●---_-_____l___________-_-_-_●___--__-__--●———————————————————一 .一. 定理2.4N设p是舯上的质量分布,E∈时是Bord集,0<c<oo是常数, (1)如果对任意z∈E,甄掣<c,则日5(E)≥p(E)/c; (2)如果对任意z∈E,甄掣>c,则日8(E)≥28,上(Ⅱp)/c; (3)如果对任意。
∈E,觋虹絮掣=s,则dimH E=s.其中,研(z)是以z 为中心,r为半径的球. 8 3 自相似分形集 分形几何中的自相似集是一类最重要和最典型的分形集,也是目前研究最为广泛和深入的分形集.文中第四部分主要针对若干类自相似集研究其Hausdorff维数与测度. 3.1自相似集的生成 1.迭代函数系与不变集 定义3.1【1】设D∈Rn是有界闭子集,S:D_D是一个映射.如果对任意的z,可∈D
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