cted On EEG dynamics model,the following conclusions ale shown:o Chaotic patterns of the dynamics model may emerge out of Pomeau-Manneville route,and relevant to double-periodic bifurcation,Hopf bifurc觚ou, and reversebifurcation;@Tofurther supporttheviewthatchaosexistinEEG signals. Key Words:chaos;fractal;bifurcation;EEG(Electroeneephalogram);M-J seis .II. 独创性说明 作者郑重声明:本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得研究成果。
尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。
储魏盈堑日期地型厶兰 大连理工大学硕士学位论文 引 言 非线性科学是--l’-〕研究非线性现象共性的基础科学。
它是20世纪60年代以来,在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科,被誉为20世纪自然科学的“第三次大革命”【1】。
科学界认为:非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义,而且具有广泛的应用前景,它几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域,并正在改变人们对现实世界的传统看法。
在非线性科学的研究中,己涉及对确定论与随机性,有序与无序,偶然性与必然性,量变与质变,整体与局部等范畴和概念的重瓤认识,它将深刻地影响人类的思维方法,并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。
一般认为非线性科学的主体包括:混沌、分形、孤子。
本文的研究重点是混沌与分形理论及其与相关学科的交叉与应用【21。
本文分为四章。
第一章主要介绍了混沌与分形的定义、特征等非线性基础理论以及文章中主要使用的研究方法。
第二章介绍了非线性映射中的混沌与分形研究,分四节依次介绍了一维Batrachion序列映射、二维Logistic映射、三维Lorenz系统的混沌与分形的研究,通过对不同非线性映射的混沌普适特征计算分析,深入研究了不同维度下映射自身所固有的混沌和分形特性,并在此基础上探讨了“通向混沌道路”的不同方式。
第三章介绍了广义M-J集嵌套拓扑分布定理,推广了Midaelitseh和Rd ssler所提出的由简单非解析映射z 4---002)一c构造Jtl.〔ia集和Mandelbrot集的方法。
并由推广的复映射z卜@(z8)一c够∈且),构造出一系列广义J集和M集。
第四章介绍了混沌理论在生物医学工程领域的应用,使用混沌学的计算方法分别对仔猪EEG信号真实数据和EEG动力学模型产生的模拟数据进行了分析,对了生物体信号中所包含的混沌特性进行了研究,将混沌、生物学和计算机应用相互结合,为疾病的早期诊断进行了新的探索。
混沌、分形及在生物医学中的应用1 非线性理论概述1.1混沌理论概述1.1.1混沌理论的产生和发展 非线性混沌与分形理论的基本思想起源于20世纪初,发生于20世纪60年代后,发展壮大于20世纪80年代。
混沌与分形理论被认为是继相对论、量子力学,20世纪 ‘人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领域的第三次大革命〔1】。
1903年Poincare’在他的《科学与方法》一书中提出了Poincare’猜想。
他指出三体问题中,在一定范围内,其解是随机的。
实际上这是一种保守系统中的混沌,从而Poincare’成为世界上最先了解混沌存在的可能性的第一人。
20世纪的20、t30年代,G.D.Birkhoff紧跟Poincare’的学术思想,建立了动力系统理论的2个主要研究方向:拓朴理论和遍历理论。
到1960年前后,非线性科学研究得到了突飞猛进豹发展, A.N.Kolmogorov与V.I.Arnold及J.Moser深入研究{:了Hamilton系统‘或保守系统)中的运 动稳定性,得出了著名的KAM定理,KAM定理为揭示Hamilton系统中KAM环面的 破坏以及混沌运动奠定了基础。
给出混沌解第一个例子的是1963年美国数学家E.N.Lorenz的在美国《大气科学杂志》上发表的文章”确定性的非周期流”【3〕。
在他的天 气模型中,Lorenz看NT比随机性更多的东西,看到了一种细致的几何结构,发现了天 气演变对初值的敏感依赖性。
Lorenz提出了—个形象的比喻: “巴西的一只蝴蝶煽动几 下翅膀,可能会改变3个月后美国得克萨斯州的气候”。
这被称为“蝴蝶效应’i。
用混 沌学术语表达就是系统长期行为对初值的敏感依赖性。
1975年,T.Y.Li(李天岩)和J A.York提出“周期3蕴含混沌”的思想,被认为是混沌的第一次正式表述,Chaos一 词也自此正式使用【4】。
现如今,混沌已成为各学科竞相注意的一个学术热点。
1.1-2混沌的特征与定义 混沌的主要特征有【2】: l、敏感初始条件 经典学说认为:确定性的系统(微分方程或映射),只要初始条件给定(边界条件 通常也需给定),方程的解也就随之确定了。
但混沌现象的出现表明:初始条件的微小 差别将最终导致根本不同的现象,像Logistic映射这样的系统,初始迭代值的微小差别 使得迭代一定次数后的结果已无法说清了,也就是说初值的信息经过若干次迭代后已消 耗殆尽,结果己与初值没有什么关系了。
这就是混沌敏感初始条件的性质。
这种性质绝 不是计算误差形成的,而是非线性系统的固有特性。
一2. 大连理工大学硕士学位论文2、伸长与折叠 从Logisfic映射形成混沌的过程看到,混沌具有伸长和折叠的特性。
这是形成敏感初始条件的主要机制,伸长是指系统内部局部不稳定所引起的点之间距离的扩大;折叠是指系统整体稳定所形成的点之间距离的限制。
经过多次的伸长和折叠,轨道被搅乱了,形成混沌。
3、具有丰富的层次和自相似的结构 从Logistic映射形成混沌的过程来看,混沌绝不能等同于随机运动,混沌所在的区域中具有很丰富的内涵。
混沌区内有窗口(稳定的周期解),窗口里面还有混沌……,这种结构无穷多次重复着,并具有各态历程和层次分明的特征。
同时,伸长和折叠使混沌运动具有大大小小的各种尺度,而无特征的尺度,这些都称为自相似结构。
4、非线性耗散系统中存在混沌吸引子 。
这是整体稳定和局部不稳定相结合的产物,通常的吸引子都有负的(且无正的)Lyapmaov指数,唯独混沌吸引子具有正的Lyapunov指数,而且混沌吸引子只能用分数维来表征。
. 关于混沌,至今没有一个统一的数学定义,1989年,Devaney.给出的混沌的一种定义是目前用得较多的一种,它把混沌归结为三个特征:第~、不可预测性,第二、不可分解性,第三、具有规律性行为。
Devaney的定义具体如下: ’ 定义1.1设a轫是一紧致的度量3EN;.f:x-->x是连续映射,称厂在z上是混沌的,如果:(1矿具有初值敏感依赖性,(2矿在x上拓扑传递,(3矿的周期点在x中稠密。
其中,f具有对初值敏感依赖性是指: 36>0,使Vx∈X,及X的邻域N∞。
总 3y仨Ⅳ(x)及n兰。
使d,”∽,f“∽)>d; 而,在x上拓扑传递是
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