、…”毋及其线性组合处有涵数形式的尖峰。
对于混沌系统,尽管其功率谱仍可能有尖峰,但它们多少会增宽一些(不再相应于分辨率),而且功率谱上会出现宽带的噪声背景。
可见功率谱分析对周期和准周期现象的识别以及研究它们与混沌态的转化过程是非常有力的。
3、关联维数: 混沌体系是由称为奇怪吸引子的不规则轨线来描述的,奇怪吸引子为分形结构。
分维数可对吸引子的几何特征及集于吸引子上的轨道随时间的演化情况进行数量上的描述。
分维数有多种定义,其中Grassberger和Procaccia在1983年提出了一种易于从实验数据中提取分维数即关联维数的算法〔2〕。
4、Lyapunov指数:奇怪吸弓i子的一个明显特征就是吸引子邻近点的指数离析。
因为相空间中的点表示整个物理系统,所以邻近点的指数离析意味着初始状态完全确定的系统在长时间情况下,会不可避免地发生变化。
这种行为就是系统对初始条件具有敏感依赖性的反映。
而引入的Lyapunov指数恰可定量表示奇怪吸引予的这种运动性态。
对于盯维相空间中的连续动力学系统,考察一个无穷小,l维球面的长时间演化。
由于流的局部变形特性,球面将变为撵维椭球面。
第i个Lyapunov指数按椭球主轴长度p伪定义为【2〕 ^:1im三ln旦婴 。
“。
f P.【0J1.2分形理论概述1.2.1分形理论的产生和发展 分形起源可以一直追溯到十九世纪末,1875年,德国数学家K.Weierestrass构造了处处连续但处处不可微的函数,集合论创始人G.Cantor构造了三分康托集。
1890年, 一4一 大连理工大学硕士学位论文意大利数学家G.Peano构造了一种平面环绕曲线,这条曲线能充满整个平面。
1904年,瑞典数学家H.von Koch设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。
1975年,Mandelbrot将前人的结果进行总结,集其大成,以“分形:形状、机遇和维数”为名发表了他的划时代的专著。
在此专著中,第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。
此专著的发表标志分形几何作为一个独立的学科正式诞生,从而把分形理论推进到一个更为迅猛发展的阶段〔7〕。
自1975年以来,分形理论无论是在数学基础还是在应用方面都有快速发展。
由于分形几何极强的应用性,它在物理的相变理论,材料的结构与控制,力学中的断裂与破坏,高分子链的聚合,模式识别,自然图形的模拟,酶的生长等领域取得令人瞩目的成功。
由于应用学科和计算机制图的刺激与推动,分形的数学理论也得以迅速发展,并且 目的更明确,思想更深入。
1.2.2分形的定义与研究方法. (1)目前对分形还没有严格的数学定义,只能给出描述性的定义。
粗略地说,分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。
Mandelbrot最先引入分形(Fractal)--词,意为破碎的,不规则的,并且曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性或自相似的集合【8】。
一般地,称集F是分形,即认为它具有下述典型的性质: ①F具有精细的结构,即有任意小比例的细节。
②F是不规则的,以致于不能用传统的几何语言来描述。
③F通常有某种自相似的形式,可能是近似的或统计的。
④F在某种方式下定义的“分形维数”通常大于它的拓扑维数。
(2)构造分形集的逃逸时间算法: ①己知动力系统{x,f},给定视窗W及逃逸半径R和逃逸时间限制N: ②定义逃逸时间函数 m)={。
k髟:爿主:曼哆。
譬1『::=R;三i妻::::≯1意sⅣ ③对视窗内的点XIj计算1I)【ii)i ④如果T(xu)20,则xueA(分形集).如果T(xu);曲,则xii∈j。
. 由于逃逸时间算法的简捷及易实现性,常被用来构造各类奇特的分形集,本论文中的M集、J集分形图都是用该方法绘制豹。
一5. 混沌、分形及在生物医学中的应用2非线性映射中的混沌与分形2.1 Batrachion序列中混沌现象的研究 1980年,Hofstadter〔9〕首次提出了Batrachion序列 “(”)=盯G一口