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行列式计算方法与技巧的探讨摘要: 行列式产生于解线性方程组,然而其应用现远远超出了解线性方程组的范围,成为了许多学科相当重要的工具.在线性代数中,行列式是一个基本工具,讨论很多问题都要用到它.而行列式的计算方法技巧很多,本文主要讨论行列式的基本计算方法有: 三角形法、提取因子法、降阶法、利用乘法定理法、升阶法、递推法、数学归纳法、换元法等,综合利用所给解法,基本上可解决一般n阶行列式的计算问题.关键词 :行列式 计算方法 降阶法 行列式是讨论线性方程组理论的一个有力工具,在数学的许多分支中有着极为广泛的应用.行列式的计算灵活多变,需要有较强的技巧.行列式的计算是一个很重要的问题,也是一个复杂的问题,阶数不超过 3 的行列式可直接按行列式的定义求值,零元素很多的行列式如三角形行列式也可按行列式的定义求值.对于—般 n 阶行列式,特别是当 n 较大时,直接用定义计算行列式几乎是不可能的事.因此,研究一般 n 阶行列式的计算方法是十分必要的. 行列式的性质:(1)行列式与它的转置行列式相等.(2)互换行列式的任意两行(列),行列式变号.(3)行列式中的某一行(列)元素的公因子可以提到行列式外.(4)若行列式中的某两行(列)对应元素成比例,或又一行(列)元素为零,则行列式的值为零.(5)若行列式中的某一行(列)元素都是两个数之和,则此行列式等于两个行列式之和.(6)将行列式的某一行(列)乘以同一个数加到另一行(列)对应元素上去,行列式的值不变.1 化三角形法 此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积,所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得,涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积,涉及次对角线的三角形行列式等于次对角线上元素之积,且带符号 n n 1 1 2 . a b b b a b例1 计算 n 阶行列式 D n b b a 解: 1 b b b 1 b b b 1 a b b 0 a b b b Dn a n 1b a n 1b 1 b b a 0 0 a b = a n 1ba b n 12 提取因子法 若行列式满足下列条件之一,则可应用此法:1有一行(列)元素相同;2有两行列的对应元素之和或差相等;3各行列元素之和相等,于是应用按行列展开定理,使行列式降一阶,间接使用提取因子法. a b c d b c d a例2 计算行列式 c d a b d a b c解:将各列加到第一列上,提取因子 a b c d 1 b c d ab d c cd 1 a d cD a b c d a b c d d b a c b d 1 d a b cb bc ad 1 c b a将 第 3 列 分 别 加 到 1 , 2 列 上 , a cbd 0 cdD a b c d 0 abcd bd a cbd abcd ad -2-= a bc da c bda bc da d bc3 降阶法 n 阶行列式 D 等于它的任一行列各元素与其对应代数余子式乘积的和,即 n nD aj 1 ij A ij i 1 2 ... n ; D ai 1 ij A ij j 1 2 ... n 行列式按一行列展开能将高阶行列式转化为若干个较低行列式计算,此为降价法.这是一种计算数字式行列式的常用方法。