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算法的加速收敛现象分析 摘要 随着科学和工程技术的发展,越来越多的问题需要求解大规模的线性方程组,对 这类 方程的 快 速求解 已成为数值代数研究的热点之一,特别是具有稀疏结构的大 型方 程组的 求 解。
基于 Galerkin 原理的 Arnoldi 算法 是求解 这种 线性代 以数方程 组的 近似算 法 , 下称 这种方法为广义极小残余算法GMRES 算法。
GMRES方法是 目前 求解大 型 稀疏非 对称线性方程组最为流行的一种迭代方法。
GMRES 算法在迭 代过 程中通 常 表现出 一种加速收敛行为,随着迭代次数的增加,这种加速收敛现 象越 明显, 即 残量收 敛会随着迭代步数的增加而逐渐得到改善。
在 CG 方法中, 这种 加速收 敛 与 Ritz 值有密切关系。
通过分析,我们发现 GMRES 的加速收敛与 其斜 投影过 程 中产生的 Ritz 值对 特征值 的逼 近程度 有 关系。
在实 际应用中,为 了减少存储量和计算量,我们通 常 使用 GMRES 算法的 重 新开始 版本 来求解大型非 对称线性方程组。
本文描 绘了 GMRES 和 GMRESm的加速 收敛现 象,并通过实验 给予 解释。
关键字 : 广义最小 残量; Krylov 子空 间; Ritz 值; 加 速收敛 ; 正交 投影方 法; 非对 称线性方程组学院理学学士论文 Abstract On The Superlinear Convergence of GMRES Abstract With th e dev elo pm ent of s ci enc e a n d p roje ct te ch nolo g y mo re andm o re q ues t i o n s n ee d t h e s ol u t i o n o f b i g l i n e ar s ys t em s . T h i s s o l u t i o n i s o n eof th e f ast est w a ys f or r es ea r chin g num e ric al al ge br a esp eci all y for t h e bi gs p a rs e m at ri x . T h e w a y o f A rn ol d i i s b as e d u p o n t h e p ri n ci p l e o f G al e rk i n w h i c h i s cl o s ed t o t h e s o l u t i o n o f t h e l i n e ar n u m e ri cal s ys t e m . H er e w e c al lt h e s o l u t i o n as G en e ral i z ed M i n i m u m R e s i d u al GM R E S . G M R E S i s o n e o fthe mo st po pula r i t er ativ e m ethod s f o r th e sol u tion of b i g nonsi n gul arn o n s ym m et r i c l i n e ar s ys t e m s . It u s u a l l y h as a s o - c a l l e d s u p er l i n e a rconv e rgen ce b eh avi or. Th e r ate of con ve rgenc e s eem s to improv e as th ei t er at i o n p ro c e ed s . Fo r an o t h e r s a y t h e r at e o f re s i d u al v ari ab l e w i l l b eimprov ed as w e in c re as e its ite r ation. Fo r th e co nju gate g radi ent s meth odt h i s m et h o d h as b ee n r el at e d t o a d e g re e o f co n v erg en c e o f t h e R i t z v al u e.Thro u gh s o me an a l ys i s w e foun d t hat for GMRES t oo c ha n ge s inconv e rgen ce b eh avi or se em to be r el ate d to th e con ve rgen c e o f Ritz v alu e.In ou r p ra ctic al app licati on we also u s uall y u s e GMRES m fo r r edu cin gstor a g e an d c ount e r solvi n g bi g l i ne a r s yst ems. This p a per studi es th esupe rlin ea r co nv erg en ce b eh avio r of G M RES and GMR ES m an d s uppli esex plain t hro u gh ex p erim ent.Keyw ord : GMR ES Kr yl o v subs pa ce Ritz value s upe rlin ea r c onv erge nc e ortho gon aliz atio n m ethod non s ymm etri c lin ea r s ys t e m II学院理学学士论文 目录 目录摘 要 ........................................................ IA B S TR AC T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .