德勃罗想用此词来描述自然界中传统欧氏几何不能描述的一 大类 复杂不 规 则的几 何对象,例如,曲折的海岸线,起伏的山脉,变幻 的浮云 ,纵横 的血 管等 ,它 们有一个共同的特点就是极不规则或极不光滑,直观 而粗略地 说,这些对 象 都是分 形。
分形作为几何对象,是破碎的,不规则的,但不是所有 破碎 的,不规 则的形 状都是分形,分形一般还具有自相似性,一个对象 的部分与 整体 有自仿 射 变换关 系,我们也可以称之为分形。
1.2 分形的应用 分形几 何学 已在自 然 界与物理学中得到了应用。
如在显微镜下观察落入溶 液中的 一粒花粉,会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动),这是花粉在大量液体分 子的 无规则 碰 撞下表 现的平均行为。
布朗粒子的轨迹,由各种尺寸的折线连成 。
只要 有足 够的 分辨率 ,就可以发现原以为是直线段的部分,其实由大量 更小尺度 的折 线连成 。
这是一 种处处连续,但又处处无导数的曲线。
这种布朗粒 子轨迹的 分维 是 2,大 大高于 它的拓扑维数 1。
在某些 电化 学反应 中 ,电极附近成绩的固态物质,以不规则的树枝形状向 外增长 。
受到 污染 的一 些流水 中,粘在藻类植物上的颗粒和胶状物,不断因新的 沉积而生 长, 成为带 有 许多须 须毛毛的枝条状,就可以用分维。
自然界 中更 大的尺 度 上也存在分形对象。
一枝粗干可以分出不规则的枝杈 , 1理学学士学位论文 第一章 分形概论每个枝 杈继 续分为 细 杈…… ,至少有十几次分支的层次,可以用分形几何学去测量。
当 然, 还有海 岸 线的长 度到底是多少这个问题也用到分形。
有人研 究了 某些云 彩 边界的几何性质,发现存在从 1 公里到 1000 公里的无标度区 。
小 于 1 公 里 的云朵 ,更受地形概貌影响,大于 1000 公里时,地球曲 率开始起 作用 。
大小 两 端都受 到一定特征尺度的限制,中间有三个数量级的无标度区。
分 形存 在于这 中 间区域 。
近几年 在流 体力学 不 稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中,都实际测 得了 混沌吸 引 子,并 从实验数据中计算出它们的分维。
学会从实验数据测算分维 是最 近的一 大 进展。
分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内 容的 研究领 域 。
1.3 本文选题的背景 分形几 何 ,这门 新的 数学分支一创立,就日益受到各国学者的重视,在过去的十几 年里 ,分形 科 学已有 了很大的发展。
她在纯数学、物理学、材料科学、地质勘探 、疾 病诊 断 、股价预 测以及计算机和信息科学等许多领域中,都得到了 广泛的应 用。
并且由 于 分形几 何方法的引入,使一些原已死寂的老学科方向焕发了新的生 机,也使一 些 正蓬勃 发展的新学科获得了巨大的推动力。
分形几何与计算机科学 的结 合就是 一 个明显 的例证。
一方面,分形理论推动了计算机绘图方法的迅速发 展,使计 算机 在信息 压缩及模仿自然现象中的各种奇妙图形发挥了重要的作用 ;另一 方面 ,计 算机的 应用也大大地推动了分形理论的发展,并且由于模 拟分形图 成功 而展现 出 优美的 分形图像,迅速提高了分形这门新兴科学的声望,扩大了她 的影 响。
目 前 用计算 机绘制分形图是如此流行,以致不仅使绘制分形的算法理论 与程 序设计 已 成为一 个独立的研究方向,同时绘制的分形图也已成了一种相当时 髦的 艺术形 式 。
并且 分形图形已经开始应用在包装,服装,陶瓷装饰上 面。
分形理 论已 经极广 泛 地应用 在计算机图形学中,许多的计算机游戏与虚拟现实中大量应 用到 分形理 论 。
2理学学士学位论文 第二章 分形相关理论问题 第二章 分形相关理论问题2.1 Julia 集 Julia 集是分形中的一个经 典集 合,它 的 基本函 数形 式为: F Z Z 2 C ,其中 Z 与 C 都为复数。
先考虑 C0 的情 况 ,Z 是复 数, 即 Zxyi,则 有: z 2 z z x yi x yi x 2 y 2 i 2 2 xyi x 2 y 2 2 xyi 我们还可以定义复数 zxyi 的绝对值,即: z x 2 y 2 ,而Z恰好相 反是从原 点到 Z 的距 离 。
下面讨论 f z z 2 的一些性质,假设此方程以点 z0 x0 y0 i ,且 z0 1 开始迭代, 则有 : F z0 x0 2 y0 2 2 x0 y0 x0 2 y0 2