)中有一个临界点,Y就是临界值但这时厂-1◇)中仍可能有若干个正则点.当Y∈R”不属于/的值域厂∞)时,Y自动成为厂的正则值.虽然这时Y并不是任何X∈D的/的正则值.事实上,若记厂的临界点的集合为C,即C={x∈D l厂’(x)非行满射),这时f的临界值集合为厂(c).只要Y∈R”\厂(c),Y就是厂的正则值. 例2.1.1 设/:R-->R为厂G):sinx.对任意x。
∈R,娑G。
)=cosx。
.因此,/的临界点集满足方程OOSX=0,由此得临界点集 {后万+詈I七=o,±1,±2,±3,…}正则点集为 {艇R旧勋+三,拈o,“,+2,+3,…} 下面两个引理说明在解非线性方程组中正则值的重要性. 大连理工大学硕士学位论文 引理2.1.1 设f:D c R”j R”为c2佃)类映象,夕为/的一个正则值.则厂G)=夕的解由孤立点组成.换言之,V曼∈厂‘1◇),存在曼的一个邻域ⅣG),使得 厂-1(夕)nⅣ(量)={曼). 证设曼为厂G)=夕的一个解.对每个接近宕的x,由一阶泰勒公式有 几)=厂G)+厂7G)(z一量)+D(忙一舅0) =夕+厂’G)G一曼)+D(0x一舅0). 因为夕是厂的IT贝,U值,所以厂’@)是n阶非奇异矩阵.从而对每一个x≠量,可知f7G融一量)≠o.于是存在曼的一个邻域Ⅳ@),使得对每个x∈ⅣG)G≠曼),有 厂’G始一i)+o(1lx一圣0)≠0. 引理2.1.2 设F:D c R州一R”为c2(D)类映象.夕为F的正则值.则对每个‰∈F。
1◇),存在定义在某个半开区间【0,s)上的以弧长s为自变量的连续可微函数如)(这里s是某一正数或+∞),使得 (1) FGG))量夕,Vs∈【o,S); (2) 如果s<佃,则熙x(J)乒D: (3) 令s。
是满足以下条件的最小弧长参数;存在J。
“0,毛),若x氏)=x“),则墨=o.换言之,光滑曲线{zG)I s∈【0,S)}除形成一个回路外不与自身相交. 定义2.1.2如果映射厂:D c R”一R”在定义域D中每点都具有,.阶连续偏导数,则称厂为C7映射;如果对任一个正整数,.,映射/是C7映射,则称厂是光滑映射.特别地,光滑映射在其定义域内的每一点处都是可微的. 定义2.1.3设X,】,分别是两个欧氏空间的子集,如果映射f:X寸】,是双射,且厂与厂的逆映射厂-1都是光滑映射,则称/是X到l,的一个微分同胚.如果这样的同胚存在,则称x与】,是微分同胚的.如果f给出x中点‰的某个邻域到Y中厂G。
)的某个邻域的微分同胚,称映射厂:x专,,在x。
点处是局部微分同胚:如果厂在x的每一点处是局部微分同胚的,则称/是工与】,的一个局部微分同胚。
定理2.1.1(反函数定理)设F:R”_R”在‰∈int(D)处有强F一导数,F’Go)非奇异.则F在x。
处为局部同胚映象并且如果U是‰的任一开邻域,F在其上是一对一映象,兄是F对u的限制,那么巧1在FG。
)处有强F一导数,且 基于同伦延拓的全变分图去噪法 (R一)’(F(x。
))=F7 Xo))。
1又若F在‰的开邻域u内存在且连续,(凡。
1)’在FG。
)的一个开邻域内存在且连续. 定理2.1.2(隐函数定理)设F:D c R”×Rp_R”在点Go,Yo)的开邻域Do cD上连续,F(x。
,Yo)=0;又设a。
F在点G。
,Yo)存在且是强的(或者a。
F在G。
,Yo)的一个邻域内存在,并且在k,Yo)处连续),并且a。
FG。
,Y。
)非奇异.则分别存在唯一解x=日◇)∈墨,并且映象日:&一R”是连续的.此外,若a2,在k,甄)存在,那么,H在Y。
处是F一可微的,且 日7◇。
)=一p。
FG。
,Yo)rla:F(xo,Yo). 定理2.1.3 (参数化隐函数定理)设F:R肘1一R”,F∈C1,且rankF7G)=刀,则FG)=0的连通分支为c1光滑曲线.2.2 Sard定理 Sard定理是微分拓扑学中的经典结果之一.Sard定理说明了光滑映射是否有足够多J下则值的问题,其参数化形式定理在建立同伦延拓法的所谓正则性理论方面起着重要作用. 定义2.2.1设X是R”的一个子集,如果对任意X∈X,存在X在x的一个邻域V c X,使得y与R‘的一个开集微分同胚,则称X是Ji}维光滑流形.若光滑流形X的子集J,也是光滑流形,就说】,是x的子流形. 可以验证,f0,1)xR”是,2+1维光滑流形,尺”是7/维光滑流形,R”中的单位开球B(1)={x∈R”I I ll<1)和单位球面s(1)={x∈R”|II 0=1}分别为,z维和力一l维 x x光滑流形.足”中不包含端点的简单光滑曲线是一维光滑流形. 为行文方便,本文中的流形都指光滑流形,并且在维数明显或维数无关紧要时,可省略维数不提. 下面的定理说明了流形之间光滑映射的任意正则值的逆象是一个光滑流形. 定理2.2.1(逆象定理)设X和】,是分别七维和,维的光滑流形,k>几.厂:X一】,是光滑映射,如果少∈Y是映射厂的正则值,则厂-1◇)或者是空集,或者是x中的七一,维子流形. 特别地,当七一,=1时,f-1◇)是一维光滑流形,f。
1◇)是由简单的光滑曲线组成. 大连理T大学硕士学位论文 例2.2.1定义F-R x(0,1)_R为V(x,t)=t(x-1)+(1-t)(x2一1).容易验证0是F的正则集,F的零点集 ‖(0)={(1,,),(一击卜,)旧【0,1))就是两条简单的光滑曲线.如果我们从F-1(0)中的点(1,0)出发,沿着F。
1(0)中曲线走,可以到达点(1,1).如果我们从(-1,0)出发,沿着F-1(o)中曲线走,则走向无穷远.上述定理说明,正则值的逆象有很好的几何结构.自然会问,Y中究竟有多少点是光滑映射f:x专】,的正则值?假如/的正则值在Y中很少,上述定理将大为失色,下面的定理回答了这个问题. 定理2.2.2(Sard定理)设X和】,是光滑流形,/:X—l,是光滑映射.记D是/的临界点集,则厂的临界值集S(D1 c Y在】,中的测度为零.’ 记日‘={(xl,.一,工。
)∈R‘I x。
≥o}为尼维欧氏空间RE的非负(闭)半空间. 定义2.2.2设x是R”的子集,如果x的每一点在X中都有一邻域与日‘的一个相对开集微分同胚,则称x是后维带边光滑流形.若】,c-作为带边光滑流形x的子集本身是一个带边光滑流形,则称】,是工的带边光滑子流形,简称为X的子流形. 注意,从概念上说,光滑流形也是带边光滑流形,是边界为空的带边光滑流形.在带边光滑流形的情形,关于光滑映射的正则值的逆象有: 定理2.2.3(逆象定理)设X是k维带边光滑流形,Y是J『维光滑流形,k>Z, 厂:彳一】,是光滑映射,如果Y∈Y是映射f:X专】,和钞:讶专】,的正则值,则厂。
1◇)或者是空集,或者是后一z维带边流形,且它的边界满足a(厂。
1(少))=厂。
1(少)oax. 在定理是叙述中,af=f I凹:OX—y是映射厂在x的边界Ⅸ上的限制,称为映射f:X专】,的边界映射. 例2.2.2设f:R”“o,1卜’R”是光滑映射,则f的边界映射af’R”×{o,1}一R”为 . a厂(x。
,…,x。
,,)={;:二::::::二::君此时,0是钞的正则值
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