y)类,其中,.>max{O,刀一m}.如果0∈R”是F的正则值,则对几乎所有的点1,∈V,0是限制映象F(·,V):u—R”的正则值. 对任意取定的GI∈R”,记日。
为由H。
(x,r)=(1一f)(x一口)+f厂(x)定义的映射H。
:R”×【0,1】-->R”.映射H。
在灭”“0,1】的边界o(R”×【0,1】)=R”×{0,1}上的局限记作a日。
:R”×〔0,1卜争R”. 定理2.2.7设f:R”一R”是光滑映射,0是厂的正则值.作同伦 日(x,f,61)=(1一r)(x一口)+r/(x).则对几乎所有的61∈R”,0同时是映射H。
:R”×【0,1】一R”和a日。
:R”“o,1】专R”的正则值. 证映射H对变量(x,r,12)的Jacobi矩阵是 不O而H=〔(1-妒+,鬈(疹饰)七叫i-(1叫刁 大连理T大学硕士学位论文 其中I是刀阶单位矩阵.当f≠l时,矩阵一(1一,),的秩为刀;当f=1时,由于0是厂 的正则值,故矩阵(1一f),+,篆(x)在厂的零点处的秩为疗.所以矩阵可量等五在集合 胃。
1(o)={(x,r,口)∈足”×【o,l】×足一I H(x,,,口)=o}上行满秩,即0是映射H的正则值, 故由定理2.2.6知,对几乎所有的a∈R”,0是映射日口:灭”×【0,l】一尺”的正则值. 最后,注意H。
(·,o)=x—a,H。
(·,1)=/(x),即知0是aH。
:R”×【o,1卜争R”的正 则值. 定理2.2.8在定理2.2.7的条件下,对几乎所有的口∈R”,蟛1(0)由下面几种曲线组成, (1)犬”×(o,1)中具有有限弧长的闭曲线; (2)R”×(o,1】中具有有限弧长的非闭曲线,并且它的两个端点都在足一×{1}上,即它的 两个端点都是厂的零点; (3)R”×(o,1】中以尺”×{1)上f的零点作为它的 。
项iI-ta点的无界曲线: (4)一条具有有限弧长的曲线,以点(口,0)和(x‘,1)作为它的两个端点,其中f(x‘)=o, 或者一条以(口,0)为它的一个端点的无界曲线.这两种情况必有一种发生,且只有 一种发生; (5)没有端点的R”×(o,1)中的无界曲线. 证根据定理2.2.4,对几乎所有的口∈R”,0同时是映射日。
和解口的正则值.取定口∈R”,使得0同时是日口和阳口的正则值,则所1(0)是一维光滑流形.因0是映射厂和x-a的正则值,由定理2.2.3知,所1(0)中不存在如图2.1中那样的曲线.即所1(0)中不存在与超平面t=0或f=1相交的封闭曲线.由一维流形的分类定理知,所。
(0)中的曲线或者微分同胚于单位圆周,或者微分同胚于【o,1】,(0,1】或(o,1).所以,所1(0)中的有界曲线如图2.2所.
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