俄罗斯现行中学几何教材的比较分析

　　空间的基本性质：
　　1. 空间中任意三个不在一条直线上的点存在唯一一个包含这三点的平面。
　　2. 任意一个平面把空间分成两个部分──两个半空间。
　　四、对我国几何教学改革的启示
　　（一）几何教学还是要有逻辑体系，不能只是空间关系和图形的介绍
　　通过前面的比较分析可知，俄罗斯现行中学几何教材具有鲜明的公理化体系。这表明俄罗斯数学教育界认为在中学学习公理方法是有必要的。理由是“它对数学思维的发展给予良好的影响，有利于理解数学理论的抽象性的本质和意义，抽象性，保证了有可能把理论应用到种种具体情况中去”。［1］我们赞同这种观点。
　　改变了欧氏几何长达两千年统治几何学的历史的是俄罗斯的数学家罗巴切夫斯基；成功地将公理化方法运用概率论学科发展上的也是俄罗斯的以柯尔莫哥罗夫为首的一批数学家。因此，即使受到西方数学教育现代化改革的影响，几何教材的体系发生了很大变化，公理化的特点逐渐变弱，俄罗斯仍以传统欧氏几何的公理化体系组织教材。因此，我们认为我国的几何教学还是要有逻辑体系，不能只是空间关系和图形的介绍。
　　（二）在处理圆锥曲线与坐标、向量和变换两种方案上的分歧
　　与俄罗斯的几何教材相比较，我国从1909年颁布的“学部奏变通中学堂课程分为文科实科折”中的实科（相当于现在的理科）就有解析几何（主要讲圆锥曲线的内容），只是在1952年（全面学苏的时代）的中学数学教学大纲将其删掉。1960年教育部又在高中增设解析几何。从此，我国高中数学就一直包含有圆锥曲线的内容。
　　原苏联时期的几何教材中就不包含圆锥曲线的内容，现行俄罗斯的几何教材中仍旧没有这部分内容。但是，在介绍坐标、向量和变换方面现行俄罗斯的几何教材比我国的数学教材内容多。
　　究其原因，我认为圆锥曲线的内容实际上是几何学代数化。“代数方法纯粹是机械的，代数能使我们少动脑筋。可随着情况的复杂，代数的优点将趋于消失。……对于根本性的理论问题，很难说解析法比综合法要好。”［2］变换几何与欧氏几何并不对立，它类似于欧氏几何，能够促进学生空间直觉与逻辑思维方面的智力发展。例如，等腰三角形具有对称轴，平行四边形具有对称中心。我们可以用旋转与平移证明像“对顶角相等”“平行线同位角相等”这样传统欧氏几何的定理。而且，正是由于变换的概念被引进几何学，我们才更深刻地认识了解析几何与欧氏几何之间的密切联系。
　　另一方面，是受柯尔莫哥罗夫主编的几何教材的影响。虽然，柯尔莫哥罗夫用变换群的观点编写的几何教材，遭遇了与西方数学教育现代化改革相似的命运。但是，俄罗斯数学教育界还是吸收了柯尔莫哥罗夫主编教材的许多有益的方面。从上述这些教材中可以看到，巴卡列罗夫、阿达纳相、亚历山大罗夫等、沙雷金所编写的几何教材，在组织学校几何课程的内容时，逐渐在减少传统欧氏几何内容的容量，依次增强坐标、向量、变换等非传统内容。可见，他们都赞同坐标、向量和变换的概念是需要学生掌握的基础知识。
　　（三）关于我国的几何教学体系的建议
　　20世纪50年代，我国从课本到教学原则、教学方法等几乎都是以苏联的教育理论为基础展开的数学教学。改革开放后，为了跟上世界数学教育发展的步伐，借鉴世界发达国家数学教学改革的经验，我国进行了与新数学运动十分相似的改革。例如，强调基础教育要考虑社会发展的客观要求与现代数学的影响；精选传统内容，删减用处不大的内容；增加微积分、概率统计、逻辑代数等初步知识；渗透集合、对应等数学思想。进入21世纪后，又进行了与美国类似的课程改革。仅从几何教学上看，初中阶段削弱传统几何，增加变换与坐标的内容；高中阶段包含立体几何、平面解析几何，同时增加平面向量与变换的内容。由此可知，在对待国外改革的经验时，我们好像总是在取并集，只要好的都想要。然而，这样势必造成负担过重，多得教不过来，丢三落四失了体系。
　　为此，应该研究建立适合中国自己的课程体系。
　　在中学阶段需要把一部分数学理论按公理化的体系建立，以便学生可以通过这样课程的学习理解现代的公理方法。同时，课程设计在数学教学的不同阶段，应该用不同的方法把逻辑与直观有机地结合起来，这样有利于培养学生的思维能力与空间直觉。因此，我认为我国的几何教学可从以下几条公理出发：
　　1. 直线公理：经过任意两点可以作且仅作一条直线。
　　2. 平面公理：经过不在一条直线上的三点可以作且仅作一个平面。
　　3. 直线与平面公理：一条通过平面上两点的直线属于该平面。
　　4. 平行公理：经过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行。
　　同时，结合坐标与变换的方法，将平面几何与空间几何统一教学，建立较为系统的几何教学体系。当然，我们还要解决这里所说的系统的几何课程中应包括什么材料、教科书应该怎样处理定理的证明以及平面几何与空间几何如何统一等问题。这些问题的解决将直接关系到几何教学的质量。
　　参考文献：
　　［1］A A斯托利亚尔.数学教育学［M］.北京：人民教育出版社，1984，169.
　　［2］张奠宙，等.近代数学教育史话［M］.北京：人民教育出版社，1990，104-105

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