2010年《矩阵论》课外
报告 利用最小二乘法分析导弹的飞行
问题 摘要:本文根据已知数据,利用矩阵论的初步知识,对导弹飞行的轨迹问题进
行了简单分析,并通过最小二乘法的基本原理计算出了该导弹飞行轨迹的拟合曲线,求得其最远水平飞行距离。
欲解决的题目内容:
一颗导弹从敌国发射,通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹,具体有如下数据:水平距离/m02505007501000高度/m08151920我国军情处分析得出该导弹沿抛物线轨道飞行。问题:预测该导弹在什么水平距离着地。
解决
方案(报告正文):
已知该导弹飞行的轨迹是抛物线形式,建立直角坐标系如下图所示:
图1导弹飞行轨迹示意图
以导弹发射点为原点,以水平方向为x轴,高度方向为y轴,则其飞行轨迹可表示为:
y?ax2?bx,其中a和b都是常数.
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2010年《矩阵论》课外报告
导弹着地时有y?0,此时对应的不为0的解x即是导弹其整个飞行过程的水平飞行距离。因此,预测该导弹在什么水平距离着地的问题可以转化求其飞行轨迹的问题,也就是要求得常数a和b的问题。而在已知数据的情况下,利用最小二乘法可以比较容易地使这个问题得到解决。首先,我们令??x2,则飞行轨迹变为:
y?a??bx
写成矩阵形式为:
?a?Y?aT?bX??TX????b?
?y1???1??x12??x1??y?????2????2?,T??2???x2?,X??x2?.其中,Y????????????????2??xn??yn???n??xn???
?x12?2x为了方便,再令A??TX???2??2?xn?x1??x2??a?,????,则求原飞行轨迹的问题转??b??xn??
化为求线性方程组Y?A?的最小二乘解的问题。由矩阵论的基础知识我们知道,对任何G?A?1,4?,??GY都是方程组
Y?A?的最小二乘解,但最小二乘解不唯一,而其极小最小二乘解??A?Y是唯
一的,所以问题又转化为求矩阵A的广义逆矩阵A?的问题。
?2502250??8????15?2500??500将待求问题的已知数据代入以上模型,可得A?,Y???,?7502750??19?????2?20??10001000?
?10?则A的秩为2,通过满秩分解A?CD,有C?A,D???,所以A的广义逆?01?
矩阵为A??DT(DDT)?1(CTC)?1CT?(ATA)?1AT,可以计算出
?-1.81?10-6A??-3?1.64?10
?
-2.06?10-61.99?10-3
-7.74?10-71.05?10-3
2.06?10-6??-1.18?10-3?
进一步解得:
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??A?Y??
?-1.88?10-5?-2??3.90?10?
故常数a和b的值分别为a?-1.88?10-5,b?3.90?10-2。综上可知,该导弹的飞行轨迹为:
y?-1.88?10-5x2?3.90?10-2x
当导弹坠落地面y?0时,可以由飞行轨迹解得该导弹飞行的最远水平距离为x?2074米。
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