解决行列式的问题.
1.3 本文研究目的及意义
在前人研究的基础上,本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质,特征值与特征向量性质是最基本的内容,特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利,解决问题的作用更强有力,其应用也就更广泛.在此基础上,对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明. 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的,本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用,利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法,可以使问题更简单,运算上更方便,是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过大量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚,从而使高等代数中的大量习题迎刃而解,把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.
2 特征值与特征向量
2.1 特征值与特征向量的定义和性质
2.1.1 线性变换的特征值与特征向量
定义1:设是数域上的线性空间的一个线性变换,如果对于数域中一数,存在一个非零向量,使得
那么称为的一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向量.
2.1.2 n阶方阵的特征值与特征向量
定义2:设是阶方阵,如果存在数和维非零向量,使得成立,则称为的特征值,是的对应特征值的特征向量.
性质1若是的重特征值,对应特征值有个线性无关的特征向量,则.
性质2 如果都是矩阵的属于特征值的特征向量,则当时, 仍是的属于特征值的特征向量.
性质3 如果是矩阵的互不相同的特征值,其对应的特征向量分别是,则线性无关.
性质4 若的特征值为,则
,.
性质5 实对称矩阵 的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交.
性质6 若 是实对称矩阵的 重特征值,则对应特征值恰有个线性无关的特征向量,或.
性质7设为矩阵的特征值,为多项式函数,则为矩阵多项式的特征值.
2.2 中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值与特征向量之间的关系
定理:设是的一组基,
1)的特征值必是的特征值,的属于的特征向量,则必是的属于特征值的特征向量.
2)设是的一个特征值,且,则是的一个特征值.若是的一个属于特征值的一个特征向量,则是的一个属于的特征向量.
证明:1)设是的特征值,于是有使得,其中,设,则
,
又,所以有
,
由他们的坐标列相等可得
,
所以其次线性方程组有非零解,于是,故是的特征多项式的根,即是的特征值,从而的坐标是的属于的特征向量.
2)设是的一个特征值,,且,于是有非零解,,令,
,即,于是,故是的一个特征值,且是的属于的特征向量.
3 特征值与特征向量的解法
3.1 求数字方阵的特征值与特征向量
由方阵的特征值和特征向量的定义知:是的属于的特征向量 因为所以是齐次线性方程组的非零解,所以是特征方程的根。 将上述过程逆叙得到求数字方阵的特征值和特征向量的步骤如下:
(1) 计算的特征多项式;
(2) 解特征方程,求出它的全部根 ,它们就是的全部特征值。
(3) 对每一个特征值 ,求出齐次线性方程组的一个基础解系,这个基础解系便是的属于的线性无关的特征向量,则的属于的全部特征向量是这个解系的非零线性组合: ,其中是不全为零的数.
例3.1.1 设线性变换在下的矩阵是,求的特征值与特征向量.
解:因为特征多项式为
.
所以特征值(二重)和5.
把特征值代入齐次方程组
得到
它的基础解系是
,.
因此属于的