两个线性无关的特征向量就是
,
.
而属于的全部特征向量就是,,取遍数域中不全为零的全部数对.再用特征值5代入,得到
它的基础解系是
,
因此,属于5的一个线性无关的特征向量就是
,
而属于5的全部特征向量就是,是数域中任意不等于零的数.
3.2 列行互逆变换法
为了定理的叙述方便,先给出一个定义.
定义1.把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换:
1 . 互换i、j两列,同时互换j、i两行;
2 . 第i行乘以非零数,同时第j列乘;
3 . 第 i行倍加到第 j行,同时第 j列倍加到第 i列 .
定理1 为n阶可对角化矩阵,并且
其中
,
则为的全部特征值,为的对应的特征向量.
证明:由行初等变换等价于左乘初等矩阵,列变换等价于右乘初等矩阵的性质及行列互逆变换的定义知,为若干初等矩阵的乘积,当然可逆,且
,即,
所以
.
因为
,
所以
,
则
,
所以
因此,该方法求出的为的特征值,为的对应特征值的特征向量.
为了运算上的方便,这里约定:
1.表示矩阵的第j行倍加入第i行;
2.表示矩阵的第j列的倍加入第 i 列.
由于用定理1求解时,总会遇到形如 或形式的矩阵化对角阵问题,为此给出具体方法:
或
,
其中.
则为的分别对应特征值和的特征向量;
为的分别对应特征值和的特征向量.
例3.2.1求的特征值与特征向量.
解:
所以,特征值;特征向量分别为.
例3.2.2求的特征值与特征向量.
解:
.
所以,特征值分别为;特征向量分别为,,,.
下面给出定理1的推广定理.
定理2. 为任意阶方阵,若,其中为约当矩阵,为约当标准形. ,,则为的特征值;为的对应特征值的特征向量.
证明:由一般代数书中定理可知必相似于一约当矩阵,按定理2中化简方法,则有
,即,其中,
所以
,
故有
,
所以为的特征值;为的对应的特征向量.
例3.2.3 求的特征值与特征向量.
解:
所以特征值为,对应特征值的特征向量,对应的特征向量为.
3.3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量
引理 矩阵左乘或右乘一个可逆矩阵,其秩不变.即若为矩阵,分别是m和n阶可逆矩阵,则
.
由此可知,若,且为n阶单位矩阵,则形如的矩阵必可经过一系列变换成的形式,其中为矩阵且,分别为和矩阵,为零矩阵,从而有
定理1 设为矩阵,其秩,,则比存在n阶可逆矩阵,使,且的个列向量就是齐次线性方程组的基础解系.
证明: 此处只需证明的列向量是的基础解系即可.
事实上,由得,即,从而,.这说明的个列向量是齐次线性方程组的解向量.
另设矩阵的列向量为,则由知向量组即为的列向量,因可逆,所以向量组线性无关,因此的列向量就是的基础解系.
例3.3.1 组的一组基础解系.
解:利用初等列变换,得
从而,,所求基础解系为.
定理2. 设为n阶方阵,则其特征矩阵可通过初等列变换化为下三角矩阵,记为
,
从而使的解就是矩阵的全部特征值.
证明:由初等变换理论,存在n阶可逆矩阵,使,由此得.
从而使的解就是的解.
这样,由定理1和定理2可以得到同时求解方阵的特征值与特征向量的一种解法:
第一步,作如下初等变换:
,并由求得矩阵的特征值.
第二步,将代入,则有或.
因为,所以由定理1即知的列向量就是的对应于特征值的线性无关的特征向量.
例3.3.2 求矩阵的特征值与特征向量.
解:
所以,由得矩阵的特征值为.
将代入,得
.
所以对应于的特征向量为 ( 此处二重特征值只对应一个线性无关的特征向量).
将代入,得
.
所以对应于的特征向量为.
这里用初等列变换的方法同时求出来矩阵的特征值与特征向量,完全类似地,利用初等行变换也可以实现这一过程,其方法如下:
(1) 对矩阵施行初等行变换将其化为矩阵,其中为含有的上三角矩阵,为经过初等变换得到的矩阵;