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通信工程 孙大江 郑州大学 白噪声中正弦组合的功率谱分析 专业 通信工程1 学生姓名 孙大江 指导教师 陈恩庆 完成时间 2012年8月7日 通信工程 孙大江 摘要 本文分别选取古典谱估计现代参数方程谱估计特征分解法谱估计中的各一种对淹没在白噪声中的正弦信号进行功率谱分析并进行了相应的matlab仿真 仿真程序和结果见附录. 关键词:功率谱自相关估计 Abstract This paper selected the classical spectrum estimation parameter equation of modern spectral estimation feature decomposition spectral estimation to analysis the sine signal concealed in the white noise and conducted the implementation of the corresponding matlab simulation the Simulation program and results are Save on the appendix. Key words: power spectrum autocorrelation estimation 一.课题简介 由于白噪声中的正弦组合是最常见的随机过程而估计淹没在噪声中的正弦波频率即是信号处理中最有实际应用价值的技术之一也是测试所有谱估计性能的基础.所以在本课题中以信号20sin20.22sin20.3xnnnn 为例进行研究并分别以经典谱估计中的自相关法间接法和现代谱估计AR模型的Yule-Walker法自相关法以及分离信号子空间和噪声子空间的特征分解法MUSIC分别进行功率谱估计.最后再根据不同方法得到的不同结果进行分析. 二.信号分析的演变 在进行课题研究之前我们首先明确一下为什么要进行信号谱分析.最初的信号研究知识局限在时域但是随着科技的进步时域分析已经完全满足不了科研需要于是人们开始把目光转向了频域. 最初根据任何信号ft都可以在特定区间内展开成由完备正交集构成的无穷级数的理论我们可以吧一个周期信号分解为有不同频率谐波组成的形式并且分别在三角集和指数集中得到三角型傅里叶级数和指数型傅里叶级数njjntnn1ftAe2由于指数型运算的简便性人们选择了指数型运算进行了深 通信工程 孙大江 入发展即以njnn1Ae2为振幅以n为相角分别得到周期信号的频域幅度谱和相位谱 对于非周期信号由于相当于周期T区域无穷所以基波角频率区域无穷小个分量的幅度也相应的趋于无穷小不能在进行幅度谱分析了故引出新的概念频谱密度 即单位频率的振幅也就是我们通常所说的频谱 这里引出了傅里叶变换即 jtnTFjlimF.Tftedt 根据傅里叶变换我们可以进行频谱分析了 下一步引入能量谱的概念信号能量22EftdtFjdf其中2Fj为单位频率的信号能量也称为能量密度函数即我们所说的能量谱 第四步与能量谱类似引入功率谱概念 T22TT21PlimftdtT 由于随机信号不能用频谱表示能量无限但是由维纳辛钦定理功率有限信号的功率谱函数语气自相关函数是一对傅里叶变换所以我们可以由信号的自相关函数求得其功率谱然后利用功率谱来描述随机信号的频域特性. 三.本文中用到的三种谱分析方法 Ⅰ.古典谱估计之相关法 相关法谱估计是以相关函数为媒介来计算功率谱又叫做间接法它的理论基础是维纳-辛钦定理其具体步骤如下: 第一步由获得的N点数据构成的有限长序列xnn来估计自相关函数即: N1xNNn01RmxnxnmN 第二步由自相关函数的傅里叶变换求功率谱即 通信工程 孙大江 11????SMjjmxxmMeRme 以上两步经历了两次截断一次是估计xRm 时仅利用了xn的N个观测值Nxn这相当于对xn加矩形窗截断.该窗是加在数据上的一般称为加数据窗.另一次是估计??Sjxe时仅利用了从-M-1到M-1的xRm这相当于对xRm加矩形窗截断将xRm截成2M-1长这称为加延时窗.式中xRm和??Sjxe分别表示对xRm和Sjxe的估值.由于MN使得上式的运算量不是很大因此在FFT问世之前相关法是最常用的谱估计方法. FFT问世以后情况有所变化这里只进行基本思想介绍不再进行matlab程序仿真. 因为阶段后的Nxn可视作能量信号由相关卷积定理 x1RmNNNxmxm 对上式两边取2N-1点DFT并将时域卷积变为频域乘积有 221212111??SNNjxNNNeXkXkXk 于是可得用FFT求xRm方案如下: 1 对N长Nxn充N-1个零成为2N-1长的21Nxn. 2 求2N-1点的FFT得: 222121210NnkNNNnXkxnW 3 求2211NNXk 4 求2N-1点的IFFT得: 12x2121111Rm2N-1NNmkNNkNXkW 上面的相关运算中充零的目的是为了能用圆周卷积代替线性卷积以便采用快速卷计算法. Ⅱ参数模型法谱估计之levinson-durbin快速递推法 Levinson-durbin递推算法是解尤勒-沃克方程的快速有效的算法这种方法利用自相关矩阵具有的一些好的性质是运算量大大减少在介绍Levinson-durbin递推算法之前先大概了解一下尤勒-沃克方程: 如前所述P阶模型的系统函数为 通信工程 孙大江 1G1miiiHzaz 可以看出阶模型有个待定系数由上式可得白噪声激励得到的系统输出 1piixnaxniGn 可以理解为用时刻之前的个值的线性组合1piiaxni来预测时刻的值xn预测误差为Gn在均方误差最小准则下组合系数12paaa的选择应使预测误差Gn的均方值最小经过一系列的运算最终可以得到模型的正则方程 121120pixixpixiaRmimpRmaRiGm 也就是尤勒沃克方程 在上面方程中令得一阶模型的尤勒-沃克方程为 1110111100xxxxRaRRaR 可以解得 1110xxRaR 进而求得 2211100110xxxxRRRaR 在一阶的基础上进行递推将阶次为时的第个系数mam定义为反射系数用mk表示于是可以将计算阶模型参数的Levinson-durbin递推算法表示如下 通信工程 孙大江 1111112112311mxmximmmmmmmmmRmaiRmikaiaikamiimk 式中12mp200xExnR Ⅲ.特征分解法谱估计之MUSIC方法 前面分别讨论了古典法和参数模型法的一个例子下面讨论用特征分解法对白噪声中的正弦波频率进行谱估计 特征分解技术的主要思想是把自相关矩阵中的信息空间分成两个子空间即信号子空间和噪声子空间这两个子空间中的矢量的函数在正弦波频率上有尖锐的峰据此可以估计正弦波的频率 输入信号为 10121iiMjiixnAennN 其向量形式为 1iMjiiiAexeω 由向量x可以求出自相关矩阵为 21MHHiiiNNiEPxsωRRRxxeeI 其中1MHiiiiPsRee2NNωRI分别为信号自相关矩阵和噪声自相关矩阵也就是说数据自相关矩阵可以分解为信号自相关矩阵和噪声自相关矩阵之和sR和ωR都是N行N列方阵秩分别为M和N即 rankMsR rankNωR. 如果已知xR或者其估计则可以通过分解由xR得到sR再进一步分解由sR得到ie从而求出正弦波频率的估计. 通信工程 孙大江 省略分解sR的过程定义N个特征向量中非零的M12vvv为主特征向量M1M2nvvv为噪声特征向量因为信号子空间与噪声子空间相互正交所以信号向量ie与噪声子空间的向量M1M2nvvv都正交与它们的线性组合也正交有 1012NHijjjMaiMev 式中1112iijjNiieeiMe为M个正弦信号的频率.令 11iijjNTeee 当11iijjNTiieeeee时应有 10NHHjjjjMaevve 即 210NHjjjMaev 因此可以定义一中类似于功率谱的函数 211??xNHjjjMPaev 若令1ja则有 21111??xNNHHHjjjjMjMPevveev 上式取峰值的M个就是M个正弦信号频率的估计.理论上这M个应使上式所示的函数值为无限大但由于存在估计误差所以??xP为有限值但呈现尖锐的峰值.也就是说??xP的M个最大值所对应的频率就是正弦信号频率的估计. 通信工程 孙大江 四.程序和结果 时域图如下: 通信工程 孙大江 1间接法程序 clear n1:1000 xsqrt20sin2pi0.2nsqrt2sin2pi0.3nrandnsizen N1000 for h1:N Rh0 end for m1:N s0 for i1:N-m-1 ssxixim-1 end Rms/N 估计自相关函数P89页4.1.1 end w0:0
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