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行列式计算方法与技巧的探讨摘要: 行列式产生于解线性方程组,然而其应用现远远超出了解线性方程组的范围,成为了许多学科相当重要的工具.在线性代数中,行列式是一个基本工具,讨论很多问题都要用到它.而行列式的计算方法技巧很多,本文主要讨论行列式的基本计算方法有: 三角形法、提取因子法、降阶法、利用乘法定理法、升阶法、递推法、数学归纳法、换元法等,综合利用所给解法,基本上可解决一般n阶行列式的计算问题.关键词 :行列式 计算方法 降阶法 行列式是讨论线性方程组理论的一个有力工具,在数学的许多分支中有着极为广泛的应用.行列式的计算灵活多变,需要有较强的技巧.行列式的计算是一个很重要的问题,也是一个复杂的问题,阶数不超过 3 的行列式可直接按行列式的定义求值,零元素很多的行列式如三角形行列式也可按行列式的定义求值.对于—般 n 阶行列式,特别是当 n 较大时,直接用定义计算行列式几乎是不可能的事.因此,研究一般 n 阶行列式的计算方法是十分必要的. 行列式的性质:(1)行列式与它的转置行列式相等.(2)互换行列式的任意两行(列),行列式变号.(3)行列式中的某一行(列)元素的公因子可以提到行列式外.(4)若行列式中的某两行(列)对应元素成比例,或又一行(列)元素为零,则行列式的值为零.(5)若行列式中的某一行(列)元素都是两个数之和,则此行列式等于两个行列式之和.(6)将行列式的某一行(列)乘以同一个数加到另一行(列)对应元素上去,行列式的值不变.1 化三角形法 此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积,所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得,涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积,涉及次对角线的三角形行列式等于次对角线上元素之积,且带符号 n n 1 1 2 . a b b b a b例1 计算 n 阶行列式 D n b b a 解: 1 b b b 1 b b b 1 a b b 0 a b b b Dn a n 1b a n 1b 1 b b a 0 0 a b = a n 1ba b n 12 提取因子法 若行列式满足下列条件之一,则可应用此法:1有一行(列)元素相同;2有两行列的对应元素之和或差相等;3各行列元素之和相等,于是应用按行列展开定理,使行列式降一阶,间接使用提取因子法. a b c d b c d a例2 计算行列式 c d a b d a b c解:将各列加到第一列上,提取因子 a b c d 1 b c d ab d c cd 1 a d cD a b c d a b c d d b a c b d 1 d a b cb bc ad 1 c b a将 第 3 列 分 别 加 到 1 , 2 列 上 , a cbd 0 cdD a b c d 0 abcd bd a cbd abcd ad -2-= a bc da c bda bc da d bc3 降阶法 n 阶行列式 D 等于它的任一行列各元素与其对应代数余子式乘积的和,即 n nD aj 1 ij A ij i 1 2 ... n ; D ai 1 ij A ij j 1 2 ... n 行列式按一行列展开能将高阶行列式转化为若干个较低行列式计算,此为降价法.这是一种计算数字式行列式的常用方法。
值得注意的是在使用时应先利用行列式性质,将某行列元素尽可能多的消成零,然后再展开,计算才能更方便,对一些特殊构造的行列式可利用拉普拉斯定理降价计算.例 3 计算 N 阶行列式 1 2 3 n 2 3 4 1 D n 1 2 n 1 n n 1 (降阶法系及化三角法)解: 将各列都加到第 1 列。
再从第 1 列中提出 得 2 1 2 3 n 1 2 3 n 1 3 4 1 0 1 1 1-n nn 1 从第n 1开始,各 nn 1D 1 4 5 2 0 1 1 1 2 行乘 1加到下一行 2 1 1 2 n 1 0 1 n 1 1 1 1 1 1 n -1 1 1 1 n 1 1 1 n 1 -1 1 1 n 1依第 nn 1 1 各列加 nn 1列展开 2 到第 列 2 1 1 1 n 1 1 - 1 n 1 1 1 1-n 1 1 1 -1 1 1 1 -1 0 0 n -1 0 n 0 n n 1c j c1 2 -1 n 0 0 -1 0 0 0 n 1 n 2 n n 1 n n 1 n 1= 1 2 1 n 1 n n 2 = 1 2 n n 1 2 2 -3- 1 2 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 7 6 5 4 0 0例 4 计算 D 2 3 4 5 0 0 5 1 2 6 7 3 2 7 5 3 4 1解:由拉普拉斯定理知 5 4 0 0 1 2 4 5 0 0 5 4 7 3 D = 2 90 3 4 2 6 7 3 4 5 4 1 5 3 4 14 利用乘法定理法 在计算行列式时,有时可以用乘法定理,将给定的行列式表为两个容易计算或已知其值的行列式的乘积,从而求出给定行列式的值;有时不直接计算给定的行列式,而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式,计算两行列式的乘积,由此求出给定行列式的馆,这样做也可使问题简单. 1 a1b1 1 a1b2 1 a1 b n 1 a 2 b1 1 a 2 b2 1 a 2 bn例 5 计算 n 阶行列式 D n 1 a n b1 1 a n b2 1 a n bn 1 1 1 1 a1 0 b1 b2 bn 1 a2 0解: D n 0 0 0 1 an 0 0 0 0所以,当代>2 时, Dn 0 ;当 n=2 时 D2 a 2 a1 b2 b1 ;当 n=1 时, D1 1 a1b15 升阶法 在计算行列式时,我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式,再用展开定理使之降阶,从而使问题得到简化.有时与此相反,即在原行列式的基础上添行加列使其升阶,构造一个容易计算的新行列式,进而求出原行列式的值.这 -4-种计算行列式的方法称为升阶法.凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是:除主对角线上的元素外,其余的元素都相同,或任两行列对应元素成比例.升阶时,新行列由哪些元素组成添加在哪个位置这要根据原行列式的特点作出适的选择. c a12 a1a 2 a1 a n a 2 a1 c a2 a2 an 2例 6 计算 N 阶行列式 Dn ,其中 c 0 a n a1 an a2 c an 2 1 a1 a2 an 1 a1 a2 an 0 ca 2 1 a1 a 2 a1 a n a1 c 0 0解: Dn 0 ca a2 an = a2 0 c 0 2 a 2 a1 2 0 0 a n a1 an a2 c an 2 an 0 0 c 1将最后一行列式的第 j 行的 c a j 1 倍加到第 1 列(j=2,3,…,n+1)就可变 n成上三角行列式,其主对角线上的元素为 1 c 1 a i2 c c ... c i 1 n故 D n c n c n 1 a i2 i 1 1 1 1 x1 x2 xn例 7 计算 N 阶行列式 Dn x1 2 2 2 x2 xn x1n n x2 n xn解: Dn 好像范德蒙行列式,但并不是,为了利用范德蒙行列式的结果,令 1 1 1 1 x1 x2 xn y x12 2 x2 2 xn y2 D n 1 x1n 1 x 2 1 x n 1 n n y n 1 x1n n x2 n xn yn -5- n 1按第一列展开,则得到一个关于 y 的多项式, y 的系数为 1 n 1 n D n D n , 另 一 方 面 , 显 然 , D n 1 中 y n 1 的 系 数 为 n xi x j x1 x 2 x n ,所以 D n1 j i n x x i 1 i 1 j i n i xj。
6 利用递推法 所谓利用递推关系法,就是先建立同类型 n 阶与 n-1 阶或更低阶行列式之间的关系——递推关系式,再利用递推关系求出原行列式的值,称为递推法.有直接递推和间接递推两种. x a a a a x a a例 8 计算 Dn a a x a a a a x x a a a x a a a a x a a a x a a解: Dn a a x a + a a x a a a a a 0 0 0 xa x a 2a 2 a a x a a a 0 x a 2a a a x a a= 0 0 x a a + x a a a x a 0 0 0 a a a a x n 1 n 1 1= ax a x aDn x a a a x a a a a x a a a x a a又因为 Dn a a x a + a a x a a a a a 0 0 0 xa n 1 1 = ax a x aDn x a Dn a x a n x a x a Dn 1 1于是得 x a Dn -a x a n x a x a Dn 1 2 -6-1 2 式得 2 aDn a x a n a x a n 1a 0 时, Dn x a n x a n ; a 0 时, D n x n 2 a b ab 0 0 0 1 a b ab 0 0 0 1 ab 0 0例9 计算 n 阶行列式 Dn 0 0 0 a b ab 0 0 0 1 ab解:将 D n 按第一列展开得 1 ab 0 0 0 ab 0 0Dn = a bDn1 ab = a b Dn1 a
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