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“转圈几何”的研究性探究 绍兴县实验中学312030钱卫娣 引例若一个半径为1米的圆从A地滚动到B地AB成一直线该圆需滚动5圈则A地到B地相距多远 上例问题若刚讲过圆周长此问题很容易解决即12510米.下面我们从另一角度来研究此类问题。
探究1: 如图1若一个半径为1米的圆从A地滚动到B地AB成一直线又A地到B地相距10米则该圆需滚动多少圈 解该圆所转圈数12105圈. 探究2:如图2一个圆作滚动它从A位置开始滚动与它相同的六个圆的上部到达B位置则该圆滚过多少圈 解析:此例易错解为312312圈.出错在于此类为曲线上滚动不同于直线上的滚动。
实践探究用7枚硬币滚动结合量角器得38圈. 探究3:如图3一个等边三角形的边长与它的一边相切的圆的周长相等当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动旋转直至回到原出发位置时问这个圆转了几圈 实践探究制作一圆与一边长为圆周长的正三角形通过转圈得答案为4圈. 探究4:把探究3中的等边三角形改成正方形、正五边形、正六边形、……、正n边形其余条件不变则结论又如何 实践探究:类似探究3的方法得所转圈数分别为5、6、7、……、n1圈. 探究5:把探究3、4中的等边三角形、正方形、正五边形、正六边形、……、正n边形改成一般的三角形、四边形、五边形、六边形、……、凸n边形已知其周长为C滚圆周长为5C其余条件不变则该圆转了几圈 实践探究类似探究3的方法把一根Ccm长的铁丝制成一个一般的凸n边形把5C长的铁丝制成圆滚动得到结果都为6圈. 探究6把探究3中的等边三角形改成圆O其余条件不变则结论又如何若沿圆的内沿滚动则答案又如何 实践探究类似探究3的方法得结论仍为4圈.若沿圆的内沿滚动得结论为2圈. 一般结论由以上6个实践探究结果分析我们不难得到以下 ①若圆沿未封闭曲线滚动则所转圈数滚动圆周长程滚动圆圆心所经过的路 ②若圆沿封闭的凸多边形的外沿滚动则所转圈数 滚动圆周长程滚动圆圆心所经过的路滚动圆周长凸多边形周长1 ③若圆沿封闭的圆的外沿滚动则所转圈数 滚动圆周长程滚动圆圆心所经过的路1滚动圆周长圆周长 若圆沿封闭的圆的内沿滚动则所转圈数 滚动圆周长程滚动圆圆心所经过的路1滚动圆周长圆周长 结论证明借用物理知识可把滚动圆看成一质点重心在圆心故圆的滚动可看成是圆心的移动结合数学公式立即得证. 应用举例 例1.以上探究2 . 解:如右图所示圆心A经过的路程为ACDEFG且分别是半径为2的圆弧由图易得圆心所经过的路程为3606060120则由结论①得382316圈. 例2.如图所示如果⊙O的周长为20cm有两同样大小的小球A、B其半径为2cm小球A沿⊙O的内壁滚动小球B沿⊙O的外壁滚动小球B转动几圈后回到原来位置小球A要转动几圈后回到原来的位置 解因为小球A或B本身沿圆O内壁和外壁自身滚动一周时圆心A或B移动的弧长为4cm又圆O的半径为10cm所以圆心A在以O为圆心8cm 为半径的圆上而圆心B在以O为圆心12cm为半径的圆上.所以小球A沿内壁滚动一圈回到原位时圆心A移动的弧长为16cm小球B沿外壁滚动一圈回到原位时圆心B移动的弧长为24cm所以小球A转了4圈小球B转了6圈. 评注若上例应用结论③后一结论也可即小球B转1221026圈小球A转1221024圈.
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