D n 按第一列展开得 1 ab 0 0 0 ab 0 0Dn = a bDn1 ab = a b Dn1 abDn2 0 0 ab ab 0 0 1 a b n1于是得到一个递推关系式 Dn = a b Dn 1 abDn 2 ,变形得Dn bDn1 = a Dn1 bDn2 ,易知Dn bDn1 = a 2 Dn2 bDn3 = a 3 Dn3 bDn4 =…= a n2 D2 bD1 n2=a a b 2 ab b a b a n所以, Dn a bDn 1 ,据此关系式再递推,有 nDn a n b a n 1 bDn 1 a n a n 1b b 2 Dn 1 n 1 n 1a n a n1b a 2b n2 b n1 D1 = a a b ab b n n 注 此例用的是间接递推法。
此法是变换原行列式,构造出 D n 和 Dn1 ,消去 Dn1 即得 D n .7 数学归纳法 即利用不完全归纳法行寻找出行列式的猜想值,再用数学归纳法给出猜想值的严格证明.这里采用第二形数学归纳法较多. -7- a b ab 0 0 0 1 a b ab 0 0 0 1 ab 0 0例 用数学归纳法解例 9 计算 Dn 0 0 0 a b ab 0 0 0 1 ab a2 b2 a3 b3解:分析因 D1 a b , D 2 a 2 ab b 2 ,……所以 ab ab a n 1 b n 1猜想 D n ab证明 当 n1 时命题成立假设 n k 1 时命题成立当 n k 时,将 Dk 按第一列展开,由上题有 ak bk a k 1 b k 1 a k 1 b k 1Dk a bDk 1 abD 2 = a b k ab .
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