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分类号编 号 2012010119 毕业
论文 题 目 凸函数及其在不等式证明中的应用 学 院 数学与统计学院 姓 名 王红娟 专 业 数学与应用数学 学 号 281010119 研究类型 研究综述 指导教师 杨钟玄 提交日期 2012 年 5 月
原创性声明 本 人 郑 重 声 明 :本 人 所 呈 交 的 论 文 是 在 指 导教 师 的 指 导 下 独 立 进 行 研 究 所 取 得 的 成 果 .学 位
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论文作者签名: 年 月 日
论文指导教师签名: 凸函数及其在不等式证明中的应用 王红娟 (天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000) 摘 要: 凸函数是一类重要的函数,在数学许多问题中都有广泛的应用。
本文论 述了凸函数的定义、性质及其判别方法,讨论了凸函数在不等式证明中的重要应 用并对凸函数进行了推广。
关键词:凸函数 性质 不等式 Jensen 不等式 Convex Function and its Application in the proof Inequality Wang Hong-juan Tianshui Normal University Academic of Mathematics and Statistics Tianshui741000ChinaAbstract Convex Function is a kind of important Function it has a far-rangingapplication in a lot of mathematical problems .The paper related and analyzed thedefinition property and discriminant method of the convex Function .At the sametimethe theme talked about the Convex Function’s important in the proof Inequalityand popularized about the Convex Function.Key Words Convex Function property Inequality Jensen Inequality 目 录题目:凸函数及其在不等式证明中的应用............................... 1摘 要 ............................................................ 1关键词 ............................................................ 1引言 .............................................................. 11 凸函数的定义、性质及判定定理 .................................... 1 1.1 凸函数的定义 ................................................ 1 1.2 凸函数的几种等价定义 ........................................ 2 1.3 凸函数的性质及定理 .......................................... 32 关于凸函数的四个不等式 .......................................... 4 2.1 Jensen 不等式 1 ............................................ 4 2.2 Jensen 不等式 2 ............................................ 4 2.3 Holder 不等式 1 ............................................ 5 2.4 Holder 不等式 2 ............................................ 63 凸函数在不等式证明中的应用 ...................................... 7 3.1 利用 Jensen 不等式 1 和凸函数性质证明不等式 ................... 7 3.2 利用 Jensen 不等式 2 和凸函数性质证明不等式 ................... 9 3.3 凸函数在积分不等式中的应用. ................................ 104 凸函数的推广 ................................................... 11 4.1 凸函数的定义推广 ........................................... 11 4.2 凸函数的性质及定理推广 ..................................... 12 4.2.1 凸函数的性质推广 ...................................... 12 4.2.2 凸函数的定理推广 ..................................... 13结束语 ........................................................... 14参考文献 ......................................................... 15致谢 ............................................................. 16 数学与统计学院 2012 届毕业
论文 凸函数及其在不等式证明中的应用 王红娟 (天水师院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000)摘 要: 凸函数是一类重要的函数,在数学许多问题中都有广泛的应用。
本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法,讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。
关键词: 凸函数性质不等式 Jensen 不等式 1引言 在很多数学问题的分析与证明中我们都需要用到凸函数例如在数学分析、函数论泛函分析、最优化理论等当中.大家都熟悉函数 f x x 2 的图像它的特点是:曲线 y x 2 上任意两点间的弧线总在这两点连线之下我们可以下这样一个定义:设 f x 在 a b 上有定义若曲线 y f x 上任意两点间的弧线总位于直线的之下则称函数 f x 是凸函数. 上面的定义只是几何描述性的为了便于函数的应用用严格的分式来定义是非常必要的.1.凸函数的定义、性质及判定定理1.1 凸函数的定义 设函数 f x 在区间 a b 上有定义 若对 a b 上任意两点 x1 x2 和正数λ ∈ 01 总有 f λ x1 1 λ x2 ≤ λ f x1 1 λ f x2 1 则 f x 为区间 a b 上的凸函数. 若不等式 1 中的不等号改为严格不等号则称 f x 为 a b 内的严格不等式. 常见的凸函数有: ⅰ f x x k k lt 0或k gt 1 f x x ln x 均为 0 ∞ 内的严格凸函数 1 数学与统计学院 2012 届毕业
论文 ii f x ln1e x f x c 2 x 2 c ≠ 0 均为 0 ∞ 内的严格凸函数1.2 凸函数的几种等价定义 设函数 f x 在区间 a b 上有定义 n n n 1 对 xi ∈ a b 及 pi gt 0.i 2 n. ∑ pi 1 恒有 f ∑ pi xi ≤ ∑ pi f xi 1 i i i i i i x1 x2 f x1 f x2 2 对任意1 恒有fa b x x2 ∈ ≤ 2 2 3 对任意 x1 x x2 ∈ a b x1 lt x lt x2 恒有 f x f x1 f x2 f x1 f x2 f x ≤ ≤ x x1 x2 x1 x2 x x2 x 证明 记λ 则 x λ x1 1 λ x2 x2 x1f f λ x1 1 λ x2 ≤ λ f x1 1 λ f x2 x x2 x x x1 f x1 x2 x1 x2 x1从而有 x2 x1 f x ≤ x2 x f x1 x x1 f x2 x2 x1 f x ≤ x2 x1 f x1 x x1 f x1 x x1 f x2 x2 x1 f x x2 x1 f x1 ≤ x x1 f x2 x x1 f x1 x2 x1 f x f x1 ≤ x x1 f x2 f x1 f x f x1 f x2 f x1 所以有 ≤ x x1 x2 x1 f x2 f x1 f x2 f x 同理可证 ≤ x2 x1 x2 x f x f x1 f x2 f x1 f x2 f x 综上所述 ≤ ≤ x x1 x2 x1 x2 x 4 f x 在区间 a b 上有定义当且仅当曲线 y f x 的切线恒保持在曲线 2 数学与统计学院 2012 届毕业
论文以下则称 f x 为凸函数.1.3 凸函数的性质及定理 f x x a b g x x 1若与g均为区间上的凸函数,则f 也是区间上的凸函数. a b a b 2若为区间上的凸函数,则 f x λ f x a b (ⅰ) λ ≥ 0则是上的凸函数; λ f x a b (ⅱ) λ lt 0 则是上的凸函数 . 3设 f x g x 都是 a b 单调非负凸函数则 h x f x g x 也是 a b 上的凸函数 证明 对任意 x1 x2 ∈ a b 且和任意01, x1 lt x2 λ∈因为 f x 与 g x 在 a b 上单调递增故 f x1 f x2 g x2 g x1 ≤ 0即 f x1 g x2 f x2 g x1 ≤ f x1 g x1 f x2 g x2 1 x a b 又因与g均为区间上的凸函数,故 f xf λ x2 1 λ x1 ≤ λ f x2 1 λ f x1 g λ x2 1 λ x1 ≤ λ g x2 1 λ g x1 f x ≥ 0 g x ≥ 0而将上面两个不等式相乘,可得 f λ x2 1 λ x1 g λ x2 1 λ x1 ≤ λ 2 f x2 g x2 λ 1 λ f x2 g x1 f x1 g x2 1 λ 2 f x1 g x1 由 1 知 f λ x2 1 λ x1 g λ x2 1 λ x1 ≤ λ 2 f x2 g x2 λ 1 λ f x1 g x1 f x2 g x2 1 λ 2 f x1 g x1 1 λ f x1 g x1 λ f x2 g x2 f x g x 由凸函数定义知:h x 是上的凸函数a b 注 ⅰ f x g x 非负不能少 3 数学与统计学院 2012 届毕业
论文 ⅱ f x g x 单调递增不能少. 4 设 u 是单调递增函数 u f x 是凸函数则复合函数 u f x 也 是凸函数. 5 若 f x 为区间 I 内的凸函数且 f x 不是常数则 f x 在 I 内部不能达 到最大值. 6 如果 f x 是 a b 上的凸函数则 f x 在 a b 的任一闭子区间上有 界. 7 如果 f x 是 a b 内的凸函数则 f x 在 a b 内连续. 定理 1 若 f x 在 a b 内二阶可导且 f〃 x≥0则 f x 是 a b 内的 凸函数. 若上面的不等号变为严格不等号则 f x 是 a b 内的严格凸函数. 2.关于凸函数的四个不等式 2.1 Jensen 不等式 1 设 f x 为在区间 I 上有定义 f x 为凸函数当且仅当 x1 x2 xn ∈ I有 x x xn f x1 f x2 f xn f 1 2 ≤ n n x1 x xn 此外,上式当且仅当时,等号成立。
2 1 证明只是 λi n 2.2 Jensen 不等式 2 n x 设 f为凸函数 x且1 xn ∈ a b λ1 λ2 gt0 1 x2 λn ∑λ i 则 i 1 n n f ∑ λi xi ≤ ∑ λi f xi i 1 1 i x1 x xn 此外,上式当且仅当时,等号成立。
2 证明 应用数学归纳法 当 n 2 时 由凸函数的定义知命题成立. 设当 4 数学与统计学院 2012 届毕业
论文 n k 是命题成立. 即对任意 x1 x2 … xk ∈ a b k 设当 n k 是命题成立.即对任意 x1 x2 … xk ∈ a b 及 ∑ ai 1 都有 i 1 k k f ∑ ai xi ≤ ∑ ai f xi 现 设 x1 x2 xk xk 1 ∈ a b 及 λi gt0 i 1 2 … i 1 1 i k 1 λ k 1 k 1 ∑ λi 1 令 ai 1 2 k 则 ∑ ai 1 有数学归纳假设可推得 i i i 1 1 λk 1 i 1 f λ1 x1 λ2 x2 λk xk λk 1 xk 1 λ x λ x λk xk f 1 λk 1 1 1 2 2 λk 1 xk 1 1 λk 1 ≤ 1 λk 1 f a1 x1 a2 x2 ak xk λk 1 f xk 1 ≤ 1 λk 1 a1 f x1 a2 f x2 ak f xk λk 1 f xk 1 λ λ2 λk 1 λk 1 1 f x1 f x 2 f xk λk 1 f xk 1 1 λk 1 1 λk 1 1 λk 1 k 1 ∑ λi f xi i 1 n n 这就证明了对任何正整数 n ≥ 2 凸函数总有不等式 f ∑ λi xi ≤ ∑ λi f xi 成 1 1 i i 立. 2.3 Holder 不等式 1 对任给定的 ai bi ≥ 0 i n. 证明: 1 2 1 1 n q n n q 1 1 ∑ aibi ≤ ∑ ai ∑ bi p p 1 p gt 0 1 1 1 i i i p q ai bi 证明 令 αi 1 βi 1 n p n q q ∑ ai p ∑ bi i 1 i 1 5 .
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